多项式方程的求根问题,直到1830年才由伽罗瓦解决,属于数学史上的一个大漏子。
早在1550年左右,意大利数学家卡尔达诺和塔尔塔利亚就给出了三次方程的求根公式:卡尔达诺公式。
这个公式的发明权在他们两个之间有争议,所以这里把他们的名字都提一下。
之后关于5次方程的根式解问题,有很多大数学家都研究过,其中就包括:高斯、拉格朗日、柯西、鲁菲尼、阿贝尔。
高斯(1777-1855)对这个问题的研究,已经很接近解决了。
他解决了正17边形的尺规作图问题。
正17边形的尺规作图,相当于做出复数也就是找到圆心角的17个等分点,也就是解代数方程
当然高斯的研究领域非常多,例如著名的欧几里德第五公设问题,就是由高斯解决的。
不管是微积分,还是微分几何,还是抽象代数,都有高斯的很多贡献。
但是在5次方程的根式解问题上,高斯确实“智者千虑,必有一失”了。
之所以会出现这种情况,我觉得,还是因为伽罗瓦是民科出身,他没有正规数学教育带来的思维局限。
伽罗瓦16岁才开始学数学,而一般的孩子到了这个年龄已经学了8-10年的数学了,思维被老师们影响了太多了,以致于很难重新思考加、减、乘、除、开方到底是什么。
但是,一个16岁才开始学数学的民科,他没有启蒙老师,自然也没有思维局限。
所以,他或许更容易把方程的求根这个复杂问题,一步步地递归求解[呲牙]
如果从编程的角度来考虑方程的求根问题的话,那么既然5个运算符太复杂了,就先研究其中的1个[捂脸]
在伽罗瓦这么做了之后,事后看来确实是很正常的思路,但在当时连高斯都没有想到。
伽罗瓦曾经把论文给了柯西,但柯西搞丢了,而且柯西的粗心大意还被拉格朗日临死前告诫过。
拉格朗日是柯西的老师,一直觉得自己这个学生不够仔细,简直是提前的预言。
后来,伽罗瓦又把论文给了傅立叶,但傅立叶恰好过世了,这论文简直是催命的[捂脸]
最后,伽罗瓦把论文给了刘维尔和高斯,并且特意要求高斯替他发表,但最后还是刘维尔替他发表的。
以上是几个大数学家之间的故事。
接下来,就先从1个运算符说起。
1,集合与它的二元运算符,
集合与定义在它上的二元运算符,如果满足结合律、单位元、逆元这3个公理,就叫群:
1)
2)
3)
这个运算符,通常叫做“乘法”:它可以是狭义上的数的乘法,也可以是广义上的“乘法”。
例如,时钟指针的旋转,也可以看做一个乘法:它实质上也是复数的乘法,使用欧拉公式的话。
如果还符合交换律,就可以把它叫做“加法”,而这个群也叫交换群、阿贝尔群。
乘法通常是不交换的,但整数乘法是交换的。
2,交换律是非常重要的,
4) ab = ba,
交换律在解方程时的作用,是它可以把根合成系数的过程,再拆回去。
ax = b的解:x = 1/a b,如果不符合交换律的话,就不能写成b 1/a或b/a,
因为群的定义里只规定了a有逆元(倒数),但没有规定“乘法”是交换的。
所以,a既然在x的左边,那么就只能左乘1/a,不能右乘1/a[捂脸]
整数是可以这么做的,但如果是矩阵方程***X = b,那么X = ***^-1 b和b ***^-1是不一样的,后者甚至可能不满足矩阵的乘法规则。
但是,群里有一个元素的乘法是肯定满足交换律的,就是单位元:见第1节的公理2和3。
3,群不一定就是整数的加法或乘法,而是只要满足第1节的3个条件就行。
所以把1、2、3、4变成2、3、4、1的置换,也可以是个群:
1 –> 2,
2 –> 3,
3 –> 4,
4 –> 1,
可以简写成(1, 2, 3, 4),用C代码就是y = x % 4 + 1。
这样的群,叫做循环群。
广义上来说,可以有各种五花八门的群。
4,群的同构,
为了给这些五花八门的群进行分类,就定义了一个对应关系。
就跟与自然数一一对应的集合叫可数集一样,两个群之间也是用对应关系来定义的。
如果有2个群G和G',它们上面的乘法分别为x和*,如果存在一个对应关系f:G–>G',满足:
1) f(axb) = f(a)*f(b),
2) f是双射,即一一对应关系,
对任意的a, b属于G成立,就说它们是同构。
例如,1-26与a-z是一一对应的,可以定义一个对应关系f,规定:
f(2×3) = f(2)xf(3)= ('b' – 'a' + 1)*('c' – 'a' + 1),
在C语言上这么算出来是相等的,因为从a-z的***SCII是连续的。
正好手写时的乘法用x,编程时的乘法用*,因为x要表示第24个英文字母:x。
在把16进制转化成10进制时,估计很多人写过a-f与10-15之间的变换,它的原理就是群的同构[大笑]
如果只满足第1条,而不满足第2条(一一对应),那么就是群的同态。
如果是同构,那么G'的单位元e'就会一一对应到G的单位元e。
如果是同态,那么G'的单位元e'就可能与G里的多个元素对应:
例如,x^2 = 1,那么x就可以是1或-1。
G里的这多个可以被f映射到e'的元素,叫做同态的核:ker f。
它的价值在于,f(ag) = f(a)*f(g)=f(a)*e'=e'*f(a)=f(g)*f(a)=f(ga),即它是符合交换律的。
也就是说,在“同态映射f”之下:
a (Ker f) = (Ker f) a,(公式1)
搞了这么一通,就是为了看看什么情况下交换律能用。
把公式1的右边乘以a的逆元,可得:
Ker f是群G的一个子群,叫正规子群。
5,正规子群的作用就是aK = Ka,是可以使用交换律的。
以整数为例,K = {1}就是“正规子群”,如果a = 2那么2K就是所有偶数的集合。
整数的例子没什么用,看看这个例子:
假设由1、2、3、4之间的对应关系构成的群:
f:1 –> 2,2 –> 3,3 –> 4,4 –> 1,
g:1 –> (2) –> 3,2 –> (3) –> 4,3 –> (4) –> 1,4 –> (1) –> 2,
h:1 –> (2,3) –> 4,2 –> (3,4) –> 1,3 –> (4,1) –>2,4 –>(1,2) –> 3,
e:1 –> (2,3,4) –>1, 2–>(3,4,1) –>2, 3 –>(4,1,2) –>3, 4 –>(1,2,3) –>4。
G = {f, g, h, e},由4个元素组成,这4个元素都是1234之间的对应关系。
其中e是单位元,因为它对数字的作用,没有改变数字。
所以,e是G的正规子群,fe(1) = f (e(1)) = f(1) = 2,ef(1) = e(f(1)) = e(2) = 2,所以fe = ef,即这是符合交换律的。
这种对数字的变换,可以用到多项式方程的几个根的下标上。
g实际上是把f连续作用2次获得的,可以认为g是f的2次方:
g = f(f(1, 2, 3, 4)) = (3, 4, 1, 2),等号两边的括号里的数字顺序是对应关系。
同理,h是f的3次方,e是f的4次方。
这种用f的多次作用(直到没作用)生成的群,叫循环群。
f和g对数字1234的作用可以互换吗?
有的群里的元素可以互换,有的不能互换,这就引出了换位子群的概念。
6,换位子群,
fg = gf,这个等式不一定成立。
但是一定可以成立:因为它化简之后就是fg = fg。
所以,括号里的那4个组成的式子,叫换位子:也就是交换2个元素所需要的算子。
总之,一切都是为了交换律,因为群的定义里没有规定交换律必须成立。
只要能够使用交换律,怎么变换过来的,就还可以怎么变回去。
但要是交换律不能用,那就完了[捂脸]
单位元e与别的元素肯定是可以互换的,单位元e自己也可以组成群G的一个子群:因为exe = e = exe,结合律、单位元、逆元都满足。
G如果除了e之外,还有更大的换位子群(G1)的话,那就更好了。
如果它的换位子群G1,也有比e更大的换位子群G2,那么就可以组成一个链条:G -> G1 -> G2 -> e。
只要一个群的换位子群,能够沿着这个链条下降到单位元e,那么它就是可解群。
也就是说,可解群里的元素对数字排序的所有作用,都是可逆的!
怎么打乱的数字,还可以怎么恢复回去[呲牙]
恢复回去需要的步数,就是那条可解链的长度。
所以一元一次方程ax + b = 0 的求解,最多需要2步:考虑有理数Q到它自己的一一对应组成的群G:
1,G里的一个元素f,对其他数字的作用不变,但只把ax变到-b,
2,G里的另一个元素g,对其他数字的作用不变,但只把x变到-b/a,
按照数学惯例,把“变到”那两个字换成=号。
7,可解群,单群,
单群,不是可解群。
单群的换位子群等于它自己,构造不出来可解链。
PS:群的元素不一定是数字,也可以是数字之间的对应关系。
抽象代数跟泛函分析一样,群的元素可以是“函数”,空间的元素也可以是“函数”。
函数是什么?对应关系。
乘法是什么?函数关系[捂脸]
泛函泛的是什么?距离。
抽代抽的是什么?乘法[笑哭]
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